Conceptos Básicos de Grafos
GRAFOS
CONCEPTO.
Un grafo, G, es un par ordenado de V y A, donde V es el conjunto de vértices o nodos del grafo y A es un conjunto de pares de vértices, a estos también se les llama arcos o ejes del grafo. Un vértice puede tener 0 o más aristas, pero toda arista debe unir exactamente a dos vértices.
Los grafos representan conjuntos de objetos que no tienen restricción de relación entre ellos. Un grafo puede representar varias cosas de la realidad cotidiana, tales como mapas de carreteras, vías férreas, circuitos eléctricos, etc.
La notación G = A (V, A) se utiliza comúnmente para identificar un grafo.
Los grafos se constituyen principalmente de dos partes: las aristas, vértices y los caminos que pueda contener el mismo grafo.
Aristas
Son las líneas con las que se unen las aristas de un grafo y con la que se construyen también caminos.
Si la arista carece de dirección se denota indistintamente {a, b} o {b, a}, siendo a y b los vértices que une.
Si {a ,b} es una arista, a los vértices a y b se les llama sus extremos.
Aristas Adyacentes: Se dice que dos aristas son adyacentes si convergen en el mismo vértice.
Aristas Paralelas: Se dice que dos aristas son paralelas si vértice inicial y el final son el mismo.
Aristas Cíclicas: Arista que parte de un vértice para entrar en el mismo.
Cruce: Son dos aristas que cruzan en un punto.
Vértices
Son los puntos o nodos con los que esta conformado un grafo.
Llamaremos grado de un vértice al número de aristas de las que es extremo. Se dice que un vértice es `par' o `impar' según lo sea su grado.
Vértices Adyacentes: si tenemos un par de vértices de un grafo (U, V) y si tenemos un arista que los une, entonces U y V son vértices adyacentes y se dice que U es el vértice inicial y V el vértice adyacente.
Vértice Aislado: Es un vértice de grado cero.
Vértice Terminal: Es un vértice de grado 1.
Caminos
Sean x, y " V, se dice que hay un camino en G de x a y si existe una sucesión finita no vacía de aristas {x,v1}, {v1,v2},..., {vn,y}. En este caso
x e y se llaman los extremos del camino
El número de aristas del camino se llama la longitud del camino.
Si los vértices no se repiten el camino se dice propio o simple.
Si hay un camino no simple entre 2 vértices, también habrá un camino simple entre ellos.
Cuando los dos extremos de un camino son iguales, el camino se llama circuito o camino cerrado.
Llamaremos ciclo a un circuito simple
Un vértice a se dice accesible desde el vértice b si existe un camino entre ellos. Todo vértice es accesible respecto a si mismo
CLASIFICACION DE GRAFOS
Podemos clasificar los grafos en dos grupos: dirigidos y no dirigidos. En un grafo no dirigido el par de vértices que representa un arco no está ordenado. Por lo tanto, los pares (v1, v2) y (v2, v1) representan el mismo arco. En un grafo dirigido cada arco está representado por un par ordenado de vértices, de forma que y representan dos arcos diferentes.
Ejemplos
G1 = (V1, A1)
V1 = {1, 2, 3, 4} A1 = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)}
G2 = (V2, A2)
V2 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A2 = {(1, 2), (1, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 6)}
G3 = (V3, A3)
V3 = {1, 2, 3} A3 = { <1, 2>, <2, 1>, <2, 3> }
Gráficamente estas tres estructuras de vértices y arcos se pueden representar de la siguiente manera:
Grafos
Algunos de los principales tipos de grafos son los que se muestran a continuación:
Grafo regular: Aquel con el mismo grado en todos los vértices. Si ese grado es k lo llamaremos k-regular.
Por ejemplo, el primero de los siguientes grafos es 3-regular, el segundo es 2-regular y el tercero no es regular
Grafo bipartito: Es aquel con cuyos vértices pueden formarse dos conjuntos disjuntos de modo que no haya adyacencias entre vértices pertenecientes al mismo conjunto
Ejemplo.- de los dos grafos siguientes el primero es bipartito y el segundo no lo es
Grafo completo: Aquel con una arista entre cada par de vértices. Un grafo completo con n vértices se denota Kn.
A continuación pueden verse los dibujos de K3, K4, K5 y K6
Un grafo bipartito regular: se denota Km,n donde m, n es el grado de cada conjunto disjunto de vértices.
Grafo nulo: Se dice que un grafo es nulo cuando los vértices que lo componen no están conectados, esto es, que son vértices aislados.
Existen dos tipos de grafos según la relación entre los objetos sea unívoca o biunívoca.
a).- Grafos Dirigidos:
Un grafo en el cual toda arista es dirigida se denominará "digrafo" o bien "grafo dirigido". Un grafo dirigido o dígrafo consiste de un conjunto de vértices V y un conjunto de arcos A.
Los vértices se denominan nodos o puntos; los arcos también se conocen como aristas o líneas dirigidas que representan que entre un par de vértices existe una relación unívoca.
Grafo dirigido
b).- Grafos no Dirigidos:
Un grafo en el cual todas las aristas son no dirigidas se denominará "grafo no dirigido". El grafo no dirigido es aquel que no tiene sentido su arista. Un grafo no dirigido G representa elementos, y una arista (v, w) representa una incompatibilidad entre los elementos v y w.
Grafo no dirigido
Si en un Grafo hay aristas dirigidas y aristas no dirigidas, entonces el grafo se denomina "mixto".
Caminos.
En un grafo G es una sucesión finita de vértices y aristas alternos, donde cada arista
tiene por extremos los vértices adyacentes.
(v0, v0v1, v1, v1v2,..., vn-1, vn-1vn, vn)
A v0 y vn se les denomina extremos del camino.
Longitud del camino
Es el número de aristas que contiene.
Camino cerrado
Los extremos coinciden, v0=vn.
En un grafo (no un multigrafo), un camino puede expresarse por la sucesión de vértices
(v0, v1,..., vn-1, vn)
Camino simple:
En la sucesión de vértices no hay ninguno repetido.
Un ciclo
Es un camino cerrado donde el primero y último vértice son el mismo (camino simple
cerrado). En un multigrafo se considera ciclo a aquellos caminos cerrados que no
repiten aristas.
Un circuito
Es un camino cerrado que no repite aristas.
